معادلات ناویر-استوکس
در دینامیک سیالات، معادلات ناویر-استوکس Navier-Stokes معادلاتی هستند که حرکت سه بعدی سیال ویسکوز یا لزج را توصیف میکنند. این معادلات به نام کلود لوئیس ناویر (۱۷۸۵-۱۸۳۶) و جورج گابریل استوکس (۱۸۱۹-۱۹۰۳) نام گذاری شده‌اند. در شرایطی که گرادیان‌های دمایی بزرگ در سیال وجود نداشته باشد، این معادلات تقریب بسیار خوبی از واقعیت ارائه میدهند.
معادلات ناویر-استوکس شامل یک معادله پیوستگی وابسته به زمان برای بقای جرم، سه معادله‌ی بقای مومنتوم وابسته به زمان و یک معادله بقای انرژی وابسته به زمان است. در این دسته معادلات چهار متغیر مستقل وجود دارد، x، y و z مختصات فضایی دامنه و t متغیر زمان می‌باشد.
همانطور که مشاهده میشود، معادلات ناویر-استوکس معادلات دیفرانسیل جزئی غیرخطی مرتبه دوم هستند و حل این معادلات برای بسیاری از مسائل مختلف جریان ویسکوز بدست آمده است. معادلات ناویراستوکس ممکن است برای مدل سازی آب و هوا، جریان‌های اقیانوسی، جریان هوا در اطراف یک ایرفویل و جریان آب در یک لوله یا یک راکتور استفاده شوند. معادلات ناویر-استوکس در فرم کامل و ساده شده خود به طراحی هواپیما و اتومبیل، مطالعه جریان خون، طراحی راکتورهای هسته‌ای و بسیاری موارد دیگر کمک میکنند.
گرچه معادلات ناویر استوکس جواب‌های تحلیلی محدودی دارند ولی برای شبیه سازی با شبکه‌های ریز قابل قبول هستند. ابزار اصلی برای تجزیه و تحلیل آن‌ها استفاده از دینامیک سیالات محاسباتی (CFD) است. دینامیک سیالات محاسباتی شاخه‌ای از مکانیک سیالات است که از تحلیل عددی و الگوریتم‌های گسسته سازی برای حل و تجزیه و تحلیل مسائلی که شامل جریان‌های سیال متلاطم هستند، استفاده میکند. به طور گسترده پذیرفته شده است که معادلات ناویر-استوکس (یا فرم ساده شده میانگین‌گیری رینولدز معادلات ناویر-استوکس (RANS)) قادر به نمایش حل‌های آشفته هستند و این معادلات اساس همه کدهای CFD می‌باشند. اکنون امکان دستیابی به نتایج تقریبی، اما واقعی، برای طیف گستردهای از جریان‌های ویسکوز دو بعدی و سه بعدی با استفاده از حل CFD وجود دارد.
معادلات ناویر-استوکس از نظر ریاضی محض نیز کاملاً جالب توجه هستند. ماهیت بسیار متناوب و پیچیده‌ی جریان آشفته همه تحلیل‌ها را پیچیده میکند. هنوز ثابت نشده است که در حل‌های سه‌بعدی ترم آشفتگی همیشه وجود دارند، یا اگر وجود دارند بصورت یکنواخت هستند. در حقیقت اغلب گفته میشود که حل کلی معادلات ناویر-استوکس با در نظر گرفتن آشفتگی «آخرین مسئله حل نشده در مسائل ریاضی کلاسیک است.»
ویژگی‌های جریان آشفته
- جریان آشفته تمایل دارد در سرعت های بالاتر، ویسکوزیته کم و در ابعاد خطی مشخصه بالاتر رخ دهد.
- اگر عدد رینولدز بیشتر از Re > 3500 باشد، جریان آشفته است.
- بی نظمی: این جریان به واسطه حرکات نامنظم ذرات سیال شناسایی میشود. حرکت ذرات سیال به شدت نامنظم است. چون در حال حاضر جواب قطعی برای جریان متلاطم در دسترس نیست، این پدیده به صورت آماری بررسی میشود.
- پخش یا انتشار: در جریان آشفته، یک توزیع سرعت نسبتاً یکسان در سراسر بخش لوله وجود دارد، در نتیجه کل سیال در یک مقدار مشخص جریان می‌یابد و در نزدیکی دیواره‌ها این سرعت شدیداً کاهش پیدا میکند. مشخصه‌ای که باعث افزایش اختلاط، نرخ انتقال جرم، مومنتوم و انرژی در یک جریان است، “پخش (Diffusivity)” نامیده میشود.
- چرخش: جریان آشفته با مکانیزم تولید گردابه سه بعدی قوی مشخص میشود. این مکانیزم به کشش گردابی معروف است.
- اتلاف یا اضمحلال: فرآیند اتلاف فرآیندی است که در آن انرژی جنبشی جریان آشفته توسط تنش برشی ویسکوز به انرژی داخلی تبدیل میشود.
مقیاسِ میکرو کولموگروف (Kolmogorov Microscales)
از نظر کولموگروف (آندری نیکولاویچ کولموگروف یک ریاضیدان روسی بود که سهم قابل توجهی در ریاضیات نظریه احتمال و تلاطم داشت)، حرکات آشفته طیف وسیعی از مقیاس‌ها را شامل میشود. از مقیاس ماکرو که در آن انرژی توسط ویسکوزیته تامین میشود، تا مقیاس میکرو که در آن انرژی توسط ویسکوزیته تلف میشود.
به عنوان مثال، یک ابر کومولوس را در نظر بگیرید. در مقیاس ماکرو ابر میتواند در ابعاد کیلومتر باشد و ممکن است در مدت زمان طولانی رشد کند یا ثابت باقی بماند. در داخل ابر، گردابه‌ها ممکن است در مقیاس‌هایی از مرتبه میلی‌متر وجود داشته باشند. برای جریان‌های کوچکتر مانند جریان داخل لوله‌ها، مقیاسهای میکرو ممکن است بسیار کوچکتر باشند. بخش اعظم انرژی جنبشی جریان آشفته در مقیاسهای ماکرو موجود است. انرژی با استفاده از مکانیسم اینرسی از مقیاس ماکرو به مقیاس میکرو منتقل میشود. این فرآیند به عنوان آبشار انرژی آشفته (turbulent energy cascade) شناخته میشود.
کوچکترین مقیاس‌ها در جریان آشفته به‌عنوان مقیاسهای میکرو کولموگروف شناخته می‌شوند. این مقیاس‌ها به اندازه‌ای کوچک هستند که انتشار مولکولی مهم میشود و اتلاف ویسکوز انرژی صورت می‌گیرد و انرژی جنبشی متلاطم به گرما تبدیل میشود.
کوچکترین مقیاس‌ها در جریان آشفته، یعنی مقیاسهای میکرو کولموگروف عبارتند از:
که در آن ε میانگین نرخ اتلاف انرژی جنبشی آشفته در واحد جرم است و واحد آن (m2/s3) است. ν ویسکوزیته سینماتیکی سیال است و واحد آن (m2/s ) است.
اندازه کوچکترین گردابه در جریان توسط ویسکوزیته تعیین میشود. مقیاس طولی کلموگروف با کاهش ویسکوزیته کاهش می‌یابد. برای جریان‌های با عدد رینولدز بسیار بالا، نیروهای ویسکوز نسبت به نیروهای اینرسی کوچکتر هستند. الزاماً تا زمانی که اثرات ویسکوزیته چشمگیر باشند و اتلاف انرژی صورت بگیرد، شاهد حرکات در مقیاسهای کوچکتر خواهیم بود. نسبت بزرگ‌ترین مقیاس طولی به کوچکترین مقیاس طولی در جریان آشفته با عدد رینولدز (که با توان سه چهارم افزایش می‌یابد) متناسب است:
این امر باعث میشود که شبیه سازی عددی مستقیم جریان آشفته عملاً غیرممکن باشد. برای مثال، جریانی با عدد رینولدز ۱e+6 را در نظر بگیرید. در این حالت نسبت L/l متناسب با ۱۰ به توان ۱۸/۴ است. از آنجایی که مسئله باید به صورت سه بعدی تحلیل گردد، باید از شبکه‌ای که حداقل از ۱e+14 نقطه تشکیل شده است استفاده کنیم. ایجاد شبکه و حل مسئله در این حالت بسیار فراتر از ظرفیت و امکانات رایانه‌های موجود است.
