مدل‌های تعادل جمعیت (PBM) سنگ بنایی برای مدل سازی سیستم های پراکنده‌شده (قطرات، ذرات و حباب های متحرک) هستند. ویژگی‌های مشخصه این نوع جریان‌ها این است که حداقل یک فاز پراکنده که در یک محیط پیوسته حضور دارد. خروجی مورد نیاز در این نوع مسائل توزیع اندازه ذرات (PSD) خواهد بود. رفتارِ همراه با جزئیات زیادِ فاز پراکنده منجر به توزیع تابع چگالی برای فازهایی میشود که هیچ حل تحلیلی ندارند .. پس تنها راه، استفاده از مدل توازن جمعیت یا همان PBM در نرم افزار فلوئنت خواهد بود!
در این مقاله، مثالی از کاربرد مدل توازن جمعیت PBM در نرم افزار فلوئنت Fluent را بررسی خواهیم کرد.
مدلسازی شکست و به‌پیوستن حبابها در یک راکتور ستون حبابی (Bubble Column Reactor)
راکتور ستون حبابی دستگاهی است که برای تولید و کنترل واکنش‌های شیمیایی گاز-مایع استفاده میشود. این وسیله شامل یک ستون استوانه‌ای عمودی حاوی مایع است که از کف آن گاز وارد میشود.
از روش تعادل جمعیت یا همان The population balance برای محاسبه‌ی اندازه حباب و توزیع جریان در یک ستون حبابی در حالت تقارن محوری Axisymmetric استفاده خواهد شد. روش گسسته Discrete Phase برای محاسبه مستقیم توزیع اندازه حباب در شش اندازه مختلف جمعیت حباب انتخاب شده است.
توصیف مسئله
شکل زیر نمای شماتیکی از یک ستون حبابی هوا-آب به قطر ۰٫۲۹ متر و ارتفاع ۲ متر را نشان میدهد. هوا از طریق ورودی پایین، که دارای قطر ۰٫۲۳ متر است، با سرعت ثابت ۰٫۰۲ متر بر ثانیه به ستون آب تزریق میشود. قطر اولیه حباب‌های هوای تزریق شده ۳ میلی متر است. این ستون به صورت یک مدل دو بعدی و تقارن محوری مدل میشود.
تزریق هوا باعث ایجاد یک جریان آشفته‌ی توسعه یافته در ستون مایع میشود که حبابها را در سراسر ستون منتقل میکند. به دلیل اثرات تلاطم و برخورد بین حباب‌های منفرد، دو اتفاق رخ میدهد : ۱) حبابها پس از برخورد با یکدیگر دچار شکست شده و از بین میروند. ۲) این حباب‌های منفرد با یکدیگر ادغام شده و حباب بزرگتری را تشکیل میدهند. در نتیجه، حباب‌هایی با اندازه‌های مختلف در ستون حباب ایجاد میشود. توزیع اندازه حبابها، نقش مهمی در هرگونه انتقال جرم و واکنش‌هایی که ممکن است بین هوا و مایع رخ دهد، مانند فرایند فیشر-تروپش (Fischer-Tropsch)، ایفا میکند. بنابراین بررسی و محاسبه‌ی توزیع اندازه‌ی حبابها یک امر بسیار مهم در تجزیه و تحلیل CFD راکتورهای ستون حبابی میباشد. این امر به کمک مدل توازن جمعیت در نرم افزار فلوئنت امکان پذیر است.
استراتژی حل
در این مقاله، شبیه‌سازی جریان دو فازی با استفاده از مدل مخلوط چند فازی اویلری صورت گرفته است. برای نشان دادن توزیع اندازه حبابها از روش گسسته با شش زیرکلاس اندازه یا همان Bin استفاده می‌کنیم. اندازه این گروه‌ها طوری انتخاب خواهد شد که اندازه حباب ورودی ۳ میلیمتر، یعنی ۰.۰۰۳ متر، در میانه اندازه‌های این گروه‌ها قرار گیرد. همچنین برای درهم‌آمیخته شدن و هسته زدایی را همراه با مدل لو (Luo) فعال کردهایم.
مدل تعادل جمعیت برای حل مسائل جریان چندفازی استفاده میشود که در آن فاز ثانویه دارای توزیع اندازه‌ای مانند قطرات، حبابها یا کریستال‌ها است که با توجه به پدیده‌هایی مانند هسته زدایی، رشد، تجمع یا پیوند و شکست با جریان تکامل می‌یابد و تغییر میکند. مدل تعادل جمعیت از یک معادله تعادل، مشابه با تعادل جرم، انرژی و مومنتوم، برای ردیابی تغییرات در توزیع اندازه استفاده میکند. توزیع اندازه را می توان با استفاده از یکی از سه روش زیر تعیین کرد: روش گسسته، روش استاندارد و مربع سازی یا تربیع (quadrature) ممان‌ها. در این مقاله، از روش گسسته برای محاسبه توزیع اندازه حباب استفاده خواهیم کرد. در اینجا، دامنه اندازه‌های ذرات در توزیع اندازه ذرات به تعداد محدودی از فواصل یا گروههای گسسته تقسیم میشود.
معادله انتقال برای هر گروه Bin با اسکالر متناظرش حل میشود، که کسر حجمی گاز Volume fraction of gas در آن گروه را نشان میدهد. بنابراین، مجموع اسکالرها برای همه گروههای گسسته برابر با کسر حجمی فاز گازی است. ترمهای چشمه در معادلات انتقال برای “تولد” و “مرگ” حبابها در هر گروه از اندازهها در هنگام ورود یا خروج به دلیل شکست و درهم‌آمیخته‌شدن حبابها در نظر گرفته می‌شوند. این ترمها با استفاده از مدل‌های خاص یا “kernels” محاسبه می‌شوند که در مقالات علمی منتشر شده است.
در این شبیه سازی، از مدل شکست و تجمع کِرنِلز برای ستون حبابی که توسط لو (Luo) و همکاران توسعه یافته است استفاده خواهیم کرد. پس از حل معادلات انتقال برای اسکالرها، مقدار “عدد تابع چگالی” برای هر اندازه‌ی Bin محاسبه میشود. با این کار به سادگی به کسر حجمی هر زیرکلاس Bin دست پیدا کردهایم (مقدار اسکالر تقسیم بر حجم تک حباب، تعداد حبابها در واحد حجم یا “عدد چگالی” را نشان میدهد). مقادیر تابع چگالی عدد برای همه اندازه‌های زیرگروهها “توزیع اندازه‌ی حباب” (Bubble size distribution) را نشان میدهد. معادلات انتقال از مدل تعادل جمعیت و معادلات مومنتوم به واسطه درگ تعریف‌شده توسط کاربر روی قطر متوسط ساتِر Sauter که بواسطه توزیع اندازه بدست‌آمده، با یکدیگر کوپل می‌شوند.
هم عدد تابع چگالی و هم قطر ساتِر Sauter در FLUENT برای انجام فرآیند پس پردازش موجود هستند. توابع پس پردازشی خاصی برای مدل تعادل جمعیت به FLUENT اضافه شده است که بواسطه آنها میتوانید حجم و میانگین سطحی توزیع اندازه را گزارش و ترسیم میکنید.
