منتشرشده در

شرط مرزی سرعت لغزش و پرش دما

هدف از ارائه‌ی این مقاله رسیدن به یک ابزار شبیه سازی می­باشد که بتواند در مدلسازی رژیم جریان لغزشی گازی در دستگاه­‌هایی ساده با ابعاد میکرو به ما کمک کند. برای رسیدن به این هدف از شرط مرزی ماکسول مولوچوفسکی (Maxwell Smolochowski) استفاده شده است که به کمک توابع تعریف شده توسط کاربر (UDF) به حلگر فلوئنت که به صورت حجم محدود مسائل را حل می­کند معرفی می‌شود. شرط مرزی سرعت لغزش یا همان سرش سرعت و پرش دما اعمال شده در اعداد نادسن (Knudsen Number) کوچک متغیر است (۰٫۱≥kn). از این رژیم به‌خصوص می‌­توان در بسیاری از مسائل صنعتی مثل سیستم­‌های میکرو – الکترو – مکانیکی (MEMS)، مبدل­‌های حرارتی در تراشه­‌ها و همچنین در توربوماشین­‌ها و کاربردهای هوایی استفاده کرد. 

 

این گزارش نحوه اعمال کردن شرط مرزی گفته شده در بالا را در چند مورد مطالعاتی مختلف نشان می­دهد:

  • جریان داخل یک کانال مستطیلی
  • جریان کوئت بین سطوح استوانه
  • خزش گرمایی بین دو منبع حرارتی
  • جریان درون یک کانال خمیده واگرا
  • یک جعبه حرارت دیده با دیواره­‌هایی که دارای دمای مختلف هستند
  • الگو چرخشی جریان بین سطوح استوانه‌­ای که با دماهای مختلف گرم می­شوند.

از میان این آزمایش‌ها، چند مورد صحت سنجی وجود دارد که توافق خوبی بین نتایج عددی و تحلیلی حاصل از آزمایش‌ها وجود دارد. چندین کِیس مطالعاتی دیگر نیز جهت تصدیق قدرت این روش مورد بررسی قرار گرفته است.

آشنایی با رژیم جریان لغزشی

با توجه به عدد نادسن که به صورت زیر تعریف می­شود، می­توان جریان­‌های گازی را به صورت جریان­‌های بدون لغزش، دارای لغزش، گذار و آزاد مولکولی بر حسب عدد نادسن متناظرشان طبقه بندی کرد :

 

در فرمول بالا λ مسیر آزاد متوسط، l مقیاس طولی مشخصه برای مسئله مورد نظر، T دما، σ قطر مولکولی، P فشار و k ثابت بولتزمن می­باشد.

جریان­هایی که عدد نادسن آنها (۰٫۰۰۱≥kn) است جریان بدون لغزش، عدد ناسن بین ۰٫۱ و ۰٫۰۰۱ جریان لغزشی،عدد نادسن بین ۰٫۱ و ۱۰ رژیم گذار و (۱۰≤kn) بعنوان جریان آزاد مولکولی شناخته می­شوند. در شرایطی بالاتر از رژیم لغزشی نمی­توان از معادلات ناویر-استوکس استفاده کرد؛ در حالیکه در جریان­‌های با رژیم لغزشی با اعمال شرایط مرزی مناسب، می­توان از معادلات ناویر-استوکس استفاه کرد.

فرمول­های مختلفی از این شرایط مرزی منحصر بفرد که می­توان با آنها جریان­های لغزشی را با استفاده از معادلات ناویر-استوکس حل کرد در مراجع مختلف ارائه شده است. این معادلات شرایط مرزی سرعت – لغزش ماکسول در فرمول‌بندی سرعتش هستند و شرط پرش دمایی مولوکوفسکی، تفاوت میان مقدار واقعی دمای دیواره و سیال در دیواره را بیان می­کند.

مدلسازی عددی سرش سرعت و پرش دما در فلوئنت

بررسی عددی با استفاده از نرم‌افزار تجاری فلوئنت برای حل معادلات ناویر استوکس انجام شده‌است. در این حلگر شرط مرزی لغزش به دو روش می­تواند در مسئله ما اعمال شود:

  • با در نظر گرفتن سرعت لغزش به عنوان دیواری که جابجایی دارد؛ واحد پارامتر ذکر شده بر حسب (m/s) می­باشد.
  • اعمال تنش برشی بر روی دیواره برحسب پاسکال Pa

دما و یا پرش دمایی موجود در دیواره ها می­تواند به طور مستقیم و بر حسب کلوین (K) و یا به صورت شار حرارتی (W/m2) بیان گردد. با استفاده از توابع اضافی موجود مانند کتابخانه­‌های UDF شرط مرزی ذکر شده را بر روی مدل خود اعمال می­کنیم. بدلیل تغییرات نسبتاً زیاد در حدس اولیه برای لغزش و دما، بخصوص در اعداد نادسن بزرگ یک ترم زیرتخفیف (Under-relaxtion term) معرفی می­شود. در ادامه نشان داده خواهد شد که ترم زیرتخفیف در همگرایی بهتر معادلات بسیار تاثیر­گذار است.

تمام محاسبات با در نظر گرفتن جریان، بعنوان یک جریان آرام با حلگر سه­ بعدی مجزا انجام می­شود. ثابت نبودن چگالی یک حقیقت تاثیر گذار در تخمین مسیر آزاد متوسط در دامنه محاسباتی است. پس گاز مورد بررسی در این مسئله یک گاز ایده ­آل تراکم­ پذیر در نظر گرفته می­شود. اطلاعات مهمی که در مورد حلگر مورد نیاز است به شرح زیر می­باشد :

  • مدل مورد نظر سه بعدی است، دقت مضاعف در فلوئنت فعال باشد.
  • جریان آرام است.
  • از الگوریتم تفکیک شده (Segregated) و ضمنی (Implicit) برای حل معادلات استفاده شده است.

مثال اول: اعمال شرط مرزیِ پرش دمایی در فلوئنت

شرط مرزی پرش دمایی برای یک کانال مستطیلی که در شکل زیر آورده شده است، اعمال می­گردد. در اینجا یک گرادیان دما بین دیواره بالایی و پایینی با قرار دادن دمای دیواره بالایی (Tv) در ۳۵۰ کلوین و دمای دیواره پایینی (TL) در ۳۰۰ کلوین ایجاد شده است (نسبت دما ۱٫۱۶۷). دیواره­‌های چپ و راست هم بعنوان شرط مرزی دیوار (Wall) با دمای ثابت ۳۰۰ کلوین در نظر گرفته شده است.

مدل استفاده شده جهت بررسی شرط مرزی پرش دیواره. تمام دیواره‌ها به غیر از دیواره بالایی در دمای ۳۰۰ کلوین قرار دارند. دیواره بالایی در دمای ۳۵۰ کلوین قرار دارد.

 

پروفیل­ دما برای حالتی که شرط مرزی مولوکوفسکی اعمال شده و همچنین در حالتی که شرط مرزی مولوکوفسکی اعمال نشده است، به صورت یک نمودار مقایسه­‌ای در شکل زیر نشان داده است. با دقت بیشتر در این شکل متوجه می­شویم که سیال در نزدیکی دیواره­‌ها به دمایی که دیواره در آن دما قرار دارد نمی­رسد. اختلاف بین مقدار دمای دیواره و دمای گاز روی دیواره با افزایش عدد نادسن افزایش پیدا می­کند.

حالت شرط مرزی پرش دمایی، در چهار عدد نادسن مختلف پروفیل دما بر حسب موقعیت نرمال شده در یک شبکه دو بعدی به ابعاد ۲۵x125x1 به تصویر درآمده است.

مثال دوم: مدلسازی کانال خمیده واگرا در رژیم جریان لغرشی در فلوئنت

یک آزمایش صحت سنجی ساده که تاثیر انحنای سطح را نشان می‌دهد.

اندازه میدان سرعت به دست آمده بر روی یک صفحه تقارن (Symmetry) که شرط عدم لغزش بر روی دیواره در آن لحاظ گردیده است در شکل زیر نشان داده شده است. عدد نادسن با در نظر گرفتن ارتفاع ورودی کانال مقدار Kn=6.89.10-2 را به خود اختصاص داده است.

شکل بعدی سرعت را در سطوح داخلی و خارجی دیواره­‌ها نشان می­دهد. این سرعت تابعی از زاویه انحنا کانال است که در مرز ورودی دارای زاویه ۹۰ درجه (گوشه بالا سمت چپ) و در مرز خروجی دارای زوایه صفر درجه (گوشه پایین سمت راست) می­باشد. سرعت کل دیواره با استفاده از مولفه‌های مماسی و نرمال آن به تصویر کشیده شده است. سرعت کل در ورودی به علت کوچک­تر بودن سطح مقطع، بزرگتر از سرعت خروجی می­باشد. در نتیجه در ناحیه ورودی اختلاف سرعت دیواره بیشتر است. اختلاف نسبی سرعت لغزشی دیواره در مرز ورودی برابر  می­باشد ولی در مرز خروجی این اختلاف  باقی می‌ماند.

تصویر یک کانال واگرا؛ شعاع داخلی ۵٫۵e-4 m و شعاع خارجی ۷٫۵e-4 m با نقاط میانی مختلف می‌باشد. h ارتفاع ورودی کانال بوده که به عنوان مقیاس طول مشخصه نیز شناخته می‌شود؛ نقطه میانی زاویه ϕ نقطه صفر است؛ جریان از مرز ورودی و از موقعیت ϕ=۰ به سمت خروجی کانال می‌باشد.

 

جریان در کانال خمیده واگرا؛ مقیاس رنگی مقدار سرعت نرمال شده را نشان می‌دهد؛ عدد نادسن برابر با ۶٫۸۹e-2 می‌باشد.

مثال سوم: مدلسازی تنش حرارتی جریان لغزشی در فلوئنت

یک کِیس آزمایشی مناسب برای صحت سنجی تنش حرارتی جریان لغزشی، یک مدل دو بعددی است که توسط سون (Sone) ارائه شده است و در شکل زیر قابل مشاهده می­باشد. دمای دیواره­‌‌ی داخلی ۳۰۰ کلوین، دمای دیواره‌ی خارجی ۳۲۰ کلوین و عدد نادسن برابر با ۰٫۰۰۱۴ است.

در شکل خطوطی که به صورت نقطه­‌چین هستند نشان دهنده صفحه تقارن هستند که از دو استوانه هم محور تشکیل شده است. بدلیل وجود اختلاف دما مشتق مرتبه دوم دما در همه­ جای دامنه محاسباتی قابل صرف نظر نخواهد بود و باید آن را در نظر گرفت که برای سایر ترم­هایی که در معادله حضور دارند و از فرض رفتار گاز ایده‌­آل پیروی می­کنند نیز برقرار است (به این معنی که نمی­توان مشتق مرتبه دوم را نادیده گرفت). مشاهده شده است که این گرادین دمایی باعث می­شود که جریان در خلاف جهت خزش حرارتی اعمال شده جریان یابد. اگرچه که در این  شبیه سازی خزش حرارتی به علت وجود دیواره­‌هایی با دمای ثابت وجود ندارد.

تنش حرارتی برای یک جریان لغزشی؛ دما در سطح داخلی در دمای Tin قرار دارد که از دمای سطح خارجی Tout کوچکتر است؛ d فاصله میان محور‌های دوران است؛ خطوط نقطه چین نشان دهنده صفحه تقارن است.

 

به دلیل نبود اطلاعات کمی در مقاله مرجع، یک مقایسه کیفی را انجام خواهیم داد. در حقیقت نتایجی که در اینجا به تصویر کشیده شده است تطابق خوبی با نتایج مقاله­‌های مرجع دارد.

خطوط جریان تنش حرارتیِ جریان لغزشی؛ روشنایی متناظر با بزرگی سرعت بر حسب (m/s) است؛ Tin=300 K و Tout=320 K ؛ محور تقارن در پایین تصویر به نمایش درآمده است؛ عدد نادسن برابر با Kn=0.0014 می‌باشد.

 

برای آشنایی بیشتر با مفاهیم شبیه سازی جریان لغرشی در فلوئنت، دوره‌‌‌ی آموزشی “ شبیه سازی جریان‌های چندفازی -سطح پیشرفته” دربخش فروشگاه آموزشی را پیشنهاد می‌کنیم.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *